基于图的机器学习是一项困难的任务，因为图的结构非常复杂，而且信息量也很大。本文是关于如何利用图卷积网络(GCNs)对图进行深度学习的系列文章中的第一篇。GCNs是一种功能强大的神经网络，旨在直接处理图并利用图的结构信息。该系列文章包括:

1、图卷积网络的高级介绍

2、基于谱图卷积的半监督学习

在本文中，我将介绍GCNs，并使用编码示例说明信息如何通过GCN的隐藏层传播。我们将看到GCN如何聚合来自前一层的信息，以及这种机制如何生成图中节点的有用特性表示。

什么是图卷积网络？

GCNs是一种非常强大的用于图形机器学习的神经网络体系结构。事实上，它们非常强大，即使是随机启动的2层GCN也可以生成网络中节点的有用特征表示。下图展示了由这样一个GCN生成的网络中每个节点的二维表示。请注意，即使没有任何训练，网络中节点的相对接近性也保留在二维表示中。

• 更正式地说，图卷积网络(GCN)是一种对图进行操作的神经网络。给定一个图G = (V, E)， GCN作为输入


• 一个输入特征矩阵N×F⁰特性矩阵,X,其中N是节点的数量和F⁰输入特征为每个节点的数量,和图结构的N×N矩阵表示，如[1]的邻接矩阵A[1]

一个隐藏层的GCN因此可以写成Hⁱ = f(Hⁱ⁻¹, A)) 其中 H⁰ = X 和f是一个传播[1]。每一层Hⁱ对应于一个N×Fⁱ特性矩阵,其中每一行是一个节点的特征表示。在每一层，使用传播规则f将这些特征聚合起来形成下一层的特征。这样，在每一层上，特征变得越来越抽象。在这个框架中，GCN的变体只在传播规则f[1]的选择上有所不同。

一个简单的传播规则

最简单的传播规则之一是[1]:

f(Hⁱ, A) = σ(AHⁱWⁱ)

Wⁱ第i层的权重矩阵，σ是一个非线性激活函数，如ReLU函数。权重矩阵维度Fⁱ×Fⁱ⁺¹;换句话说，权重矩阵的第二维的大小决定了下一层的特征数。如果您熟悉卷积神经网络，那么这个操作类似于过滤操作，因为这些权重在图中的节点之间共享。

简化

让我们在最简单的层次上研究传播规则。让

• i = 1, s.t. f是输入特征矩阵的函数，


• σ是恒等函数


• 选择权重t. AH⁰W⁰ =AXW⁰ = AX.

也就是说，f(X, A) = AX。这个传播规则可能太简单了，但是我们将在稍后添加缺少的部分。顺便提一下，AX现在相当于多层感知器的输入层。

一个简单的图形示例

作为一个简单的例子，我们将使用下图:



下面是它的numpy邻接矩阵表示。

A = np.matrix([

       [0, 1, 0, 0],

       [0, 0, 1, 1], 

       [0, 1, 0, 0],

       [1, 0, 1, 0]],

       dtype=float

)

接下来，我们需要功能！我们根据节点的索引为每个节点生成2个整数特征。这样便于以后手动确认矩阵计算。

In [3]: X = np.matrix([

            [i, -i]

            for i in range(A.shape[0])

        ], dtype=float)

        XOut[3]: matrix([

           [ 0.,  0.],

           [ 1., -1.],

           [ 2., -2.],

           [ 3., -3.]

        ])

应用传播规则

好吧！我们现在有一个图，它的邻接矩阵A和一组输入特征X。让我们看看当我们应用传播规则时会发生什么：

In [6]: A * X

Out[6]: matrix([

                   [ 1., -1.],

                   [ 5., -5.],

                   [ 1., -1.],

                   [ 2., -2.]]

发生了什么事?每个节点(每一行)的表示现在是其邻居特性的总和!换句话说，图卷积层将每个节点表示为其邻域的集合。我鼓励你自己检查一下计算结果。注意，在这种情况下，如果存在一条从v到n的边，则节点n是节点v的邻居。

哦！问题就在眼前！

你可能已经发现了问题:

节点的聚合表示不包括其自身的功能！该表示是邻居节点特征的聚合，因此只有具有自循环的节点才会在聚合中包含自己的特征。[1]

具有大角度的节点在其特征表示中将具有大值，而具有小角度的节点将具有小值。这可能导致梯度消失或爆炸[1，2]，但对于通常用于训练此类网络且对每个输入特征的比例（或值的范围）敏感的随机梯度下降算法也是有问题的。

下面，我将分别讨论这些问题。

添加自循环

为了解决第一个问题，可以简单地向每个节点添加一个self-loop[1,2]。在实践中，这是通过在应用传播规则之前将恒等矩阵I添加到邻接矩阵A来实现的。

In [4]: I = np.matrix(np.eye(A.shape[0]))

I



Out[4]: matrix([

                   [1., 0., 0., 0.],

                   [0., 1., 0., 0.],

                   [0., 0., 1., 0.],

                   [0., 0., 0., 1.]

])



In [8]: A_hat = A + I

          A_hat * X

Out[8]: matrix([

                   [ 1., -1.],

                   [ 6., -6.],

                   [ 3., -3.],

                   [ 5., -5.]])

由于节点现在是其自身的邻居，因此在总结其邻居的特征时会包含该节点的自身特征！今天就先更新到这里，剩余的部分明天继续。

原文链接：https://towardsdatascience.com/how-to-do-deep-learning-on-graphs-with-graph-convolutional-networks-7d2250723780