时间序列中的动态模型常常表现出序列相关性，即误差项随时间存在相关性。序列相关性违反了误差项独立的经典假设，从而导致估计效率低下、标准误差错误以及统计推断具有误导性。

序列相关性，也称为自相关性，是指回归模型的残差（ϵt）与过去的残差（ϵt−1, ϵt−2,…）之间存在相关性。在动态模型中，变量的过去值会影响当前值，因此序列相关性是一个常见问题。

序列相关性的存在意味着：

其中：

• ϵt 是时间 t 时的误差项。
• k 是滞后阶数。
• 如果 ρ>0，则存在正序列相关性（误差项在同一方向上同步变化）。
• 如果 ρ<0，则存在负序列相关性（误差项的符号交替出现）。

如果动态模型中存在序列相关性，那么标准误差会有偏差。这会导致统计检验具有误导性。这也意味着我们违反了普通最小二乘法（OLS，即回归）的假设，因此置信区间和假设检验变得不可靠。结果，使用该模型进行的任何预测都会不够准确，并且容易将误差传播到未来的预测中（即产生不良结果）。

检测序列相关性

有几种方法可以检验残差中的序列相关性：

1. Durbin-Watson 检验：一种用于检测一阶自相关的简单统计方法。
2. Breusch-Godfrey 检验：一种更通用的检验方法，可以检测更高滞后阶数的自相关。
3. 自相关函数（ACF）：绘制不同时间滞后下残差之间的相关性图。

让我们使用来自 FRED 的数据（密歇根大学：通货膨胀预期（MICH））来检查分布滞后模型中的序列相关性。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.graphics.tsaplots as tsaplots
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_breusch_godfrey
from statsmodels.regression.linear_model import GLS, GLSAR
from datetime import datetime
from pandas_datareader import data as web
import matplotlib.pyplot as plt
from visualization import plot_time_series, plot_decomposition
# Function to fetch data from FRED
def get_fred_data(series_id, start_date="2000-01-01", end_date=None):
    if end_date is None:
        end_date = datetime.now().strftime("%Y-%m-%d")
    df = web.DataReader(series_id, 'fred', start_date, end_date)
    return df.dropna()
# Fetch University of Michigan Consumer Sentiment Index (MICH)
series_id = "MICH"
mich_data = get_fred_data(series_id)
mich_data = mich_data.pct_change().dropna()  # Convert to percentage change
# Prepare DataFrame
mich_data = mich_data.rename(columns={series_id: "MICH"})
mich_data["Date"] = mich_data.index  # Ensure a date column for plotting
# Create lagged MICH values
for lag in range(1, 3):  # Include 2 lags
    mich_data[f"MICH_lag{lag}"] = mich_data["MICH"].shift(lag)
# Drop missing values due to lagging
mich_data.dropna(inplace=True)
# Define independent and dependent variables
X_lags = ["MICH", "MICH_lag1", "MICH_lag2"]
X_matrix = sm.add_constant(mich_data[X_lags])  # Add intercept
y_vector = mich_data["MICH"]  # Target is MICH itself (can be changed)
# Fit a distributed lag model
model = sm.OLS(y_vector, X_matrix).fit()
# Perform the Breusch-Godfrey test for serial correlation
bg_test = acorr_breusch_godfrey(model, nlags=2)
print(f"Breusch-Godfrey Test p-value: {bg_test[1]:.4f}")

Breusch-Godfrey 检验（p 值 = 0.0000）用于检查残差中的序列相关性。p 值为 0.0000 意味着拒绝无序列相关性的原假设。因此，我们得出结论，残差存在自相关性，这表明模型的误差项不是独立的。

处理序列相关性

如果检测到序列相关性，有几种方法可以纠正它：

广义最小二乘法（GLS）通过考虑序列相关性的结构来修改普通最小二乘法（OLS）：

from statsmodels.regression.linear_model import GLS
gls_model = GLS(y_vector, X_matrix).fit()
print(gls_model.summary())

广义最小二乘法（GLS）模型显示，MICH 的系数为 1.0000，t 统计量接近 0。MICH_lag1 和 MICH_lag2 的影响接近零，且 p 值较高。R² = 1.000，表明拟合完美（这非常可疑）。Durbin-Watson 统计量为 2.392，接近 2，表明自相关性得到了一定程度的修正。

Cochrane-Orcutt 方法使用迭代程序来转换回归模型，以消除序列相关性。

from statsmodels.regression.linear_model import GLSAR
cochrane_orcutt = GLSAR(y_vector, X_matrix, rho=1).iterative_fit()
print(cochrane_orcutt.summary())

GLSAR（Cochrane-Orcutt）方法显示，MICH 的系数仍为 1.0000，这证实了存在近乎完美的相关性。MICH_lag1 和 MICH_lag2 现在变得显著（p < 0.05），表明它们增加了一些解释力。Durbin-Watson 统计量为 1.533，仍表明存在一些自相关性，但相较于 GLS 模型有所改善。

Newey-West 稳健标准误

如果我们无法修正模型结构，Newey-West 稳健标准误可以提供有效的推断。

model_robust = model.get_robustcov_results(cov_type="HAC", maxlags=2)"HAC", maxlags=2)
print(model_robust.summary())

Newey-West（也称为具有异方差自相关（HAC）的 OLS）调整了自相关和异方差性下的标准误。令人惊讶的是，系数几乎保持不变。MICH_lag1 和 MICH_lag2 仍然不显著，表明它们没有提供太多解释力。Durbin-Watson 统计量为 2.392，接近 2，表明自相关性有所减少。

为了诊断序列相关性，我们可以绘制残差的自相关函数（ACF）图。

import statsmodels.graphics.tsaplots as tsaplots
# Extract residuals
residuals = model.resid
# Plot ACF
plt.figure(figsize=(10, 5))
tsaplots.plot_acf(residuals, lags=20, alpha=0.05)
plt.xlabel("Lag")
plt.ylabel("Autocorrelation")
plt.title("Autocorrelation of Residuals")
plt.savefig("residual_acf.png")
plt.show()

自相关函数（ACF）图证实了序列相关性的存在。滞后1期的尖峰表明存在强烈的自相关性。大多数其他滞后期都保持在置信带内，这意味着问题主要出现在较低的滞后期。该图支持了 Breusch-Godfrey 检验的结果。

在此情况下，我们得出结论，存在序列相关性（由 Breusch-Godfrey 检验（p = 0.0000）和 ACF 图证实）。如 Durbin-Watson 统计量所示，广义最小二乘法（GLS）和广义最小二乘自回归（GLSAR）模型处理序列相关性的效果优于普通最小二乘法（OLS）。密歇根大学的通货膨胀预期数据存在高度自相关性，且滞后期对解释的贡献很小。

我们可以通过研究差分模型或使用 ARIMA 等工具来改进这一分析。

序列相关性是动态模型（特别是涉及滞后预测变量的模型）中的常见问题。如果忽视它，会导致估计效率低下和推断结果具有误导性。Breusch-Godfrey 检验有助于检测序列相关性，而 GLS、Cochrane-Orcutt 和 Newey-West 校正方法则有助于解决这一问题。